Adán Cabello, Universidad de Sevilla
El concepto de “dimensión” es ubicuo en física. Decimos que un sistema físico “tiene” dimensión 2, ó 3, o infinita. ¿Qué queremos decir con eso? ¿Por qué decimos que un interruptor tiene dimensión 2 mientras que una partícula que puede estar en cualquier punto en una línea tiene dimensión infinita? Si nos dan una caja negra que emite partículas, ¿cómo medimos la dimensión de las partículas que salen de la caja sin saber cómo funciona la caja? Esta semana, Nature Physics publica (en su versión online) dos artículos que describen sendos experimentos en los que se determina la dimensión de las partículas emitidas por una caja negra. ¿Cómo? Midiendo en cada caso lo que se llama un “testigo de la dimensión”.
Uno de los experimentos (J. Ahrens et al., “Experimental device-independent tests of classical and quantum dimensions”) ha sido realizado en la Universidad de Estocolmo en colaboración con la Universidad de Sevilla; el otro (M. Hendrych et al., “Experimental estimation of the dimension of classical and quantum systems”) en el Instituto de Ciencias Fotónicas de Barcelona, en colaboración con la Universidad de Bristol. Ambos están basados en una idea original del grupo de Barcelona-Bristol [R. Gallego et al., Phys. Rev. Lett. 105, 230501 (2010)]. En estas líneas explicamos qué son los testigos de la dimensión y por qué son interesantes.
La dimensión de un sistema físico sobre el que se puede hacer un conjunto de medidas es el máximo número de estados de ese sistema que son mutuamente perfectamente distinguibles mediante esas medidas. “Perfectamente distinguibles” quiere decir que entre esas medidas existe al menos una que siempre permite distinguir un estado de otro.
Una diferencia fundamental entre la física clásica y la mecánica cuántica es que, en la primera, todos los estados son perfectamente distinguibles, mientras que en la segunda esto no es así. Por ejemplo, un sistema cuántico de dimensión 2 (o qubit) es un sistema en el que el número máximo de estados perfectamente distinguibles es 2. Pero eso NO quiere decir, como en física clásica, que haya sólo 2 estados. Hay infinitos estados pero sólo es posible distinguir perfectamente 2: Hay una medida que distingue perfectamente el estado |0> del estado |1>, y otra medida diferente que distingue perfectamente el estado |0>+|1> del estado |0>-|1>, pero NO hay ninguna medida que distinga perfectamente |0> de |0>+|1>.
Consideremos ahora el siguiente problema: Nos dan una caja negra con 3 botones, que llamaremos P1, P2 y P3 (preparación 1, 2 y 3), de manera que cada vez que pulsamos un botón, la caja emite una partícula. Sobre esa partícula nos dejan hacer únicamente una entre dos medidas, que llamaremos M1 y M2 y representaremos por una caja con dos botones ; cuando pulsamos el botón M1 medimos M1, y cuando pulsamos el botón M2 medimos M2. Cada una de esas medidas puede dar uno de dos resultados (que llamaremos -1 y +1). El experimento se ilustra en la figura siguiente.
La pregunta es: En esas condiciones, ¿qué podemos decir sobre la dimensión de los sistemas emitidos por la caja preparadora? Para responder, hacemos el experimento muchas veces, pulsando todas las combinaciones posibles de botones, y anotamos las frecuencias con las que ocurren los diferentes resultados.
Un testigo de la dimensión no es más que una combinación lineal de probabilidades P(+1|Pi,Mj) de encontrar +1 al preparar Pi (en este caso, i=1,2,3) y medir Mj (en este caso, j=1,2), tal que su valor experimental proporciona una cota inferior a la dimensión de los sistemas preparados. Por ejemplo, un testigo de la dimensión es
T=P(+1|P1,M1)+P(+1|P1,M2)+P(+1|P2,M1)+P(-1|P2,M2)+P(-1|P3,M1).
Como las probabilidades no pueden ser mayores que 1, el máximo valor posible de T es 5. Supongamos que T=5. Entonces P(+1|P1,M2)=1 y P(-1|P2,M2)=1, lo que quiere decir que M2 distingue perfectamente P1 de P2. Además, P(+1|P1,M1)=1 y P(-1|P3,M1)=1, lo que indica que M1 distingue perfectamente P1 de P3. También P(+1|P2,M1)=1 y P(-1|P3,M1)=1, lo que indica que M1 también distingue perfectamente P2 de P3. Conclusión: Si T=5, entonces la dimensión D es (al menos) 3. Pero si D=2, entonces T no puede ser 5. Por lo tanto, el valor de T permite dar una cota inferior de D.
Los testigos de la dimensión permiten, además, distinguir entre sistemas clásicos (bits, trits,…) y sistemas cuánticos de la misma dimensión (qubits, qutrits,…). Por ejemplo, se puede demostrar que si D=2 y los sistemas son clásicos, entonces el máximo valor de T es 4. Sin embargo, si D=2 y los sistemas son cuánticos, entonces T puede llegar hasta 4,414.
En los experimentos publicados en Nature Physics se han preparado distintos sistemas fotónicos y se ha visto cómo la medida de testigos de la dimensión permite comprobar de forma sencilla (y sin necesidad de creerse lo que diga el fabricante de la caja negra) si los sistemas son realmente (al menos) bits, o qubits, o trits, o qutrits.
Si pensamos que la dimensión de un sistema físico determina su capacidad para almacenar, procesar y comunicar información, entenderemos la importancia de una herramienta así.
