Rodolfo Cuerno Rejado, Profesor titular de la Universidad Carlos III de Madrid
La Mecánica Estadística cuenta entre sus triunfos la explicación de las propiedades macroscópicas de los sistemas materiales a partir de la interacción entre su elevado número de componentes microscópicos. Un ejemplo familiar es la predicción del estado termodinámico de un imán a partir de la interrelación entre las moléculas que lo componen. Las propiedades macroscópicas resultantes se han convertido en el prototipo de las que actualmente se denominan propiedades colectivas o emergentes, que aparecen en otros dominios de la ciencia, desde la Biología hasta la Sociología, en los que también existen sistemas compuestos por muchos agentes en interacción.
Este tipo de propiedades adquiere su forma paradigmática en las cercanías de un punto crítico (como el de la transición de fase paramagnético-ferromagnético), en las que el estado del sistema es muy susceptible a pequeñas perturbaciones, ante las que reacciona como un todo. En tales condiciones, la única escala de longitud que se puede asociar al sistema es su propio tamaño, de forma que las magnitudes observables se vuelven independientes de la escala de observación. Matemáticamente siguen leyes de potencias, cuyos exponentes son comunes a sistemas muy dispares. El estudio de esta invariancia de escala constituye un desafío, ya que requiere explicar el comportamiento de un sistema a distancias muy por encima de la asociada a la interacción microscópica entre sus componentes: centenares de micras frente a unos pocos nanómetros, en el ejemplo de sistemas magnéticos.
En equilibrio termodinámico, un punto crítico está asociado a valores especiales de los parámetros del sistema; así, en el ejemplo del imán la transición sólo se alcanza a la llamada temperatura de Curie. Sin embargo, fuera del equilibrio es posible encontrar muchos casos en los que el punto crítico se alcanza de manera espontánea, para valores arbitrarios de los parámetros. Este hecho se ha denominado invariancia de escala genérica. Históricamente, su estudio se entronca con el de la dinámica de las fluctuaciones de un sistema en torno a su equilibrio termodinámico, en la cercanía de un punto crítico (dinámica crítica), desarrollado en los años 70 y 80 del siglo XX.
En este contexto, M. Kardar, G. Parisi y Y.-C. Zhang (KPZ) propusieron en 1986 una ecuación estocástica de evolución para describir el efecto de las fluctuaciones en la dinámica de no-equilibrio de un campo extendido en el espacio. En su formulación original, la interpretación más directa de dicho campo era como el grosor (altura) de una película sólida de material, que crece por la agregación de partículas debida a un flujo externo. Sin embargo, la propuesta tenía una gran generalidad ya que, bajo redefiniciones adecuadas, la misma ecuación describe sistemas completamente distintos; en cierto modo, igual que ocurre con la familiar ecuación del calor, que puede emplearse tanto para estudiar la transferencia de energía como para describir la difusión de materia. Así, la ecuación de KPZ también describe las configuraciones de un polímero en un medio con desorden, el campo de velocidades de un fluido bajo un forzamiento aleatorio, o el flujo de partículas en procesos de transporte difusivo con un forzamiento externo. De hecho, en 1986 la ecuación era ya bien conocida en estas dos últimas acepciones. La propuesta de KPZ fue afortunada, dado que las propiedades que ellos predijeron a partir de cálculos aproximados (los valores de los exponentes críticos) coincidían con las conocidas en su momento para toda una clase de modelos de crecimiento de superficies. A partir de entonces, la ecuación ha venido desempeñando un papel central en la comprensión de la invariancia de escala genérica, incluso a pesar de la escasez de sistemas experimentales con un comportamiento como el descrito por dicho modelo.
Entre las dificultades asociadas a la ecuación de KPZ está su estructura matemática, dado que se trata de una ecuación en derivadas parciales, estocástica y no lineal. No es de extrañar, pues, la sorpresa que ha producido su reciente resolución exacta en el caso unidimensional (la superficie es una línea) para diferentes condiciones iniciales notables. La sorpresa es aún mayor si se tiene en cuenta que dichos resultados implican que los sistemas cuyo comportamiento a grandes escalas está descrito por la ecuación, no sólo comparten los valores de los exponentes críticos, sino también la forma de las distribuciones de probabilidad para los valores de la altura. De hecho, estas predicciones se han verificado experimentalmente en el caso de cristales líquidos turbulentos [para una revisión de resultados recientes, véase K. A. Takeuchi, M. Sano, T. Sasamoto y H. Spohn, Sci. Rep. 1, 34 (2011)].
Las soluciones exactas juegan un papel muy importante en los desarrollos teóricos en cualquier campo de la Física. Y quizá especialmente en el contexto de los sistemas fuera del equilibrio, para los que no hay esquemas conceptuales análogos a la función de partición o la distribución de Boltzmann-Gibbs, disponibles en equilibrio. Así, los resultados rigurosos permiten comprender en toda su extensión las implicaciones de las hipótesis hechas al formular modelos; proporcionan bancos de prueba sobre los que poner a punto técnicas aproximadas (analíticas o numéricas) que se pueden aplicar luego a otros problemas no resolubles; y, por qué no, muestran la belleza y la complejidad matemática que pueden tener determinados modelos, y encontrar conexiones con otros a través de su estructura formal.
De forma muy reciente se ha dado otro importante paso para comprender completamente la ecuación de KPZ unidimensional: así, T. Imamura y T. Sasamoto [Phys. Rev. Lett. 108, 190603 (2012)] han sido capaces de obtener rigurosamente propiedades del estado estacionario, algo vedado a los resultados previos. No sólo eso, además han sido capaces de calcular por primera vez la función de correlación a dos puntos (entre el valor del campo de alturas en un lugar y su valor en un sitio distinto), y no sólo valores medios. Hay que hacer notar que dicho cálculo es cualitativamente más complejo, incluso en el ámbito de la solución exacta de sistemas de equilibrio, donde un modelo ya se considera resuelto si se calcula la función de partición, o al menos la energía libre de Helmholtz, incluso en ausencia de resultados relativos a las funciones de correlación.
Naturalmente, aún quedan muchos aspectos por comprender en torno a la ecuación de KPZ, sobre todo en dimensiones superiores, incluyendo el caso con evidente interés experimental de dos dimensiones. No obstante, no podemos sino maravillarnos con Wigner de la “irrazonable efectividad de las matemáticas”, y aguardar nuevas sorpresas que este modelo puede depararnos en el futuro.
